奇型偏微分方程的柯西问题

定解条件给在奇线上的偏微分方程的各种定解问题早已有研究^1～4]，多数作者使用了特殊函数作工具。本文用能量不等式组来解决一类奇型双曲型方程的柯西问题。 本文主要讨论如下问题解尚存在唯一性： Lu≡(t^a/2?_t-λ₁(x,t)?_x)(t^a/2?_t-λ₂(x,t) ?_x)+a(x,t)?_t+b(x,t)?_x+c(x,t)]u(x,t)=f(x,t) (x,t)∈R×(0,T] u∣_t=0=φ(x),limt^a/2u_t=ψ(x) 这是一个二阶偏微分方程，当 α>0时，?_t²的系数当t=O 时变为零，因而这是一个初始值给在奇线上的柯西问题。我们假定： (A) α为常数，0<α<1；所涉及的都是实函数； (B) α(x，t)，b(x，t)，c(x,t),λ_j(x,t)(j=1,2)∈C¹(0,T],C²(R))，且上述函数的所有可能的导数都有界； (C) φ(x),ψ(x)∈C₀⁴(R))； （D）f(x,t)∈C((0,T],C₀²(R)),且sup{t^a/2(∣f∣+∣f_x∣+∣f_xx∣}＜+∞（Ⅱ） (E)存在常数δ＞0，使当（x,t)∈R×0,T]时，有：∣λ₁(x,t)-λ₂(x,t)∣≥δ条件（Ⅱ）中关于实函数的假设不是必要的，作此假设仅为方便。本文主要得到：定理1：在（Ⅱ）的假设下，（Ⅰ）存在唯一弱解u，并 u∈C(0,T),H¹(R))∩C¹((0,T),L₂(R)).为证明该定理作了一系列准备，关键是证得引理1，引理2和引理6。

The Singular InitiaI Valuc Problem for a Class of Partial Differential Equations