导函数性质及其应用

处处有导数的函数（导函数）有两个很好的性质：（1）在一点处有极限，则该点必连续，若无极限则该点两侧或单侧必振荡；（2）可能有不连续点的导函数介值定理仍成立。如果函数某点的领域内处处可导，我们可得到如下三个推论：（1）当f^l（x0＋0）=f^l（x0-0）时，则存在且连续。（2）当f^l（x0＋0）≠f^l（x0-0），或至少有一个单侧极限为无穷时，函数在该点不可导，（3）当f^l（x0＋0）和f^l（f0-0）中一个或同时振荡时，函数在该点可能可导。

The Special Properties of Derivative Function and Its Application

The differentiable function is continuous or discontinuous with the mode of oscillation. And we get, if a function is differentiable in deleted neighborhood of x0 , the following consequences that （ 1 ） f^l （x0） exists （ or lim 0→x0 f^l（x） =f^l（x0）o）, when f^l（x0 ＋0） =f^l（x0 -0）,（2）f^l（x0） doesn＇texist,whenf（x0 ＋0） ≠f^l（x0 -0） , either of f^l （ x0 ＋ 0） and f^l （x0 -0） or both approach ∞ , and （ 3 ） f^l （x0 ） maybe exist, when either of f^l （x^0 ＋ 0） and f^l （x0 -0 ） or both discontinuous with the mode of oscillation.